Proses poisson menggambarkan munculnya suatu kejadian pada titik-titik waktu secara acak, dimana proses pencacahan banyaknya kedatangan selama suatu selang waktu tertentu sebagai suatu p.a. poisson. Sebagai contoh adalah masuknya pesan SMS pada handphone,panggilan telepon, computer jobs untuk dikompilasi dan dieksekusi oleh suatu computer, jaringan yang membawa paket data untuk menyampaikan informasi, mengukur lalu lintas yang melewati suatu jaringan, dimana setiap saat ada data yang lewat. Pada saat data lewat maka fungsi akan bertambah satu dan waktu terjadi data yang lewat mana yang yang sesuai dengan kondisi jaringan saat itu, dll.
N(t) : Banyaknya titik kedatangan dalam (0,t], N(s,t) : Banyaknya titik kedatangan dalam (s,t], t0 adalah titik awal mulai pencacahan, t1 adalah titik waktu kedatangan sms ke-1, t2 adalah titik waktu kedatangan sms ke-2, dst. x1=t1–t0, adalah waktu antar kedatangan (interarrival time) sms 1,
x2 = t2 – t1, adalah waktu antar kedatangan sms 2, dst. Xi ini adalah p.a. yang menyebar exponensial dengan rate l, Xi ~ Exp(l l), Sedangkan N(t) ~ Poisson(l).
Proses Poisson memiliki beberapa asumsi :
(i) N(0) = 0, adalah saat mulai observasi kejadian yaitu pada t = 0.
(ii) Utk setiap waktu 0<t1<t2,t3<t4, var. random N(t2) – N(t1) dan N(t4) – N(t3) bersifat independen.
(iii) Distribusi kemungkinan dari var. random N(t+s) – N(t) hanya tergantung pada s, yaitu panjang interval, bukan pada t.
(iv) Selama ∆t à 0, kemungkinan terjadi satu kejadian pada interval (t, t + ∆t) mendekati ג∆t, yaitu proporsional dengan panjang interval. Kemungkinan terjadi lebih dari satu kejadian pada interval yg sama adalah nol, atau kemungkinan muncul nol kejadian adalah 1 – ג∆t.
Misalkan Pk(t)=besar kemungkinan dimana N(t)=k. Pada saat t + ∆t, dimana ∆t à0, maka ada 2 cara dimana N(t) memiliki nilai k, yaitu : (a). N(t) = k dan tidak ada kejadian pada selang waktu (t + ∆t), atau (b). N(t) = k–1 dan terdapat 1 kejadian pada selang waktu (t + ∆t).
Besar kemungkinan terjadinya (b) adalah ג∆t (berdasarkan asumsi (iv)) dan besar kemungkinan (a) adalah 1 – ג∆t. Selama variabel-variabel random N(t+ ג∆t) – N(t) dalam N(t) bersifat independent, maka :
Pk(t + ∆t) = Pk(t)(1 – ג∆t) + Pk-1(t) ג∆t ……………………………………………………….. Pers. (1)
Pk(t + ∆t) – Pk(t) = – ג Pk(t) + ג Pk-1(t) Dengan k = 1,2,3,…
∆t
∆t à0, maka
Lim Pk(t + ∆t) – Pk(t) = – ג Pk(t) + ג Pk-1(t) ………………
∆t à0 ∆t
Pk’ (t) = – ג Pk(t) + ג Pk-1(t) , k = 1,2,3,…
- Untuk k = 0, maka pers. (1) menjadi
P0(t + ∆t) = P0(t)(1 – ג∆t)
P0(t + ∆t) – P0(t) = – ג P0(t)
∆t
Lim P0(t + ∆t) – P0(t) = – ג P0(t)
∆t à0 ∆t
P0’(t) = – ג P0(t), dimana penyelesaian persamaan ini adalah;
P0(t) = A e–גt, selama N(0)=0, P0(0) = 1, maka didapat : P0(t) = e–גt ………………….pers. (2)
- Untuk k = 1,
P1’(t) = – ג P1(t) + ג e–ג.t, dengan menggunakan pembatas P1(0) = 0, didapat P1(t) = ג t e–גt
Dari untuk k=0 dan k=1, didapat persamaan umumnya : Pk(t) = [(גt)ke–גt]/k! k = 0, 1, 2, 3, …
Suatu proses poisson dengan rate l>0 adalah proses perhitungan dengan kondisi-kondisi yang harus dipenuhi sebagai berikut :
- Independent increment
- Stationary increment
- Probabilitas kemunculan tepat suatu event dalam interval dengan panjang h adalah lh + o(h)2, yaitu bahwa P[N(h)=1] = lh + o(h)
- Probabilitas kemunculan lebih dari satu event dalam interval dengan panjang h adalah o(h), yaitu bahwa P[N(h)>1] = o(h)
uts anjar-2010
tulisan ini sangat membantu sy.. terima kasih